벡터(Vector)

벡터(Vector)

벡터(Vector)란?

벡터(Vector)

- 벡터는 숫자를 원소로 가지는 리스트(list) 또는 배열(array)이다.

- 파이썬에서 벡터를 표현할 때는 주로 numpy를 사용한다.

- 행벡터: 가로로 배열

- 열벡터: 세로로 배열

 

벡터란?

- 벡터는 공간에서 한 점을 나타낸다.

- 인공지능에서 다루는 벡터는 훨씬 더 큰 n차원의 공간으로 보통 n개의 축을 가지는 좌표 평면 내에서 표현되는 점이라고 이해하면 된다.

- 벡터는 원점으로부터 상대적 위치를 표현한다.

벡터에 숫자를 곱해 길이를 변하게 할 수 있음

- 벡터끼리 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈, 성분곱(Hadamardproduct, element wise product) 등을 할 수 있다.

- numpy를 통해 코드로 구현할 수 있다.

code in python

 

벡터의 덧셈

- 벡터는 공간에서 한 점을 나타낸다.

- 벡터는 원점으로부터 상대적 위치를 표현한다.

- 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터 상대적 위치 이동을 표현한다.

벡터의 뺄셈

- 벡터의 뺄셈은 벡터의 덧셈의 방향을 뒤집은 것

 

벡터의 노름(norm)

norm

- 벡터의 노름(norm)은 원점에서부터의 거리를 말한다.

$L_{1}$ $norm$

: $L_{1}$ - $norm$은 각 성분의 변화량의 절대값을 모두 더한다.

$L_{2}$ $norm$

: $L_{2}$ - $norm$은 피타고라스 정리를 이용해 유클리드 거리를 계산한다.

코드 in python

$L_{1}$ $norm$과 $L_{2}$ $norm$의 차이

- 노름의 종류에 따라 기하학적 성질이 다르다.

- 머신러닝에서는 각 성질들이 필요할 때가 있으므로 둘 다 사용한다.

두 벡터 사이의 거리 & 각도

두 벡터 사이의 거리

- $L_{1}$, $L_{2}$ $norm$을 통해 두 벡터 사이의 거리를 계산할 수 있다.

- 두 벡터 사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺄셈을 이용한다.(이 때, 뺄셈을 거꾸로 해도 거리는 같음)

두 벡터 사이의 각도

- 제2 코사인(cos) 법칙을 통해 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있다.($L_{2}$ $norm$을 사용)

- 위 오른쪽 사진에서의 분자를 내적으로 나타낼 수 있다.

코드 in python

 

내적(inner product)의 해석

- 내적은 정사영(orthogonalprojection)된 벡터의 길이와 관련이 있다.

- Proj(x)의 길이는 코사인 법칙에 의해 $\left| \left| x\right|\right| cos \theta $가 된다.

- 내적은 정사영의 길이를 벡터$y$의 길이$\left| y\right|$만큼 조정한 값이다.